集合论基础：概念、表示、运算与分类

一、什么是集合

集合是由指定范围内的满足给定条件的所有对象聚集在一起构成。每一个对象称为这个集合的元素。 集合中的元素是无序、不同的。

1.集合的数学符号

通常情况：

使用带或不带下标的大写英文字母表示集合：A、B……A1、B1……使用带或不带下标的小写英文字母表示元素：a、b……a1、b1……常用集合：

自然数集合N正数集合Z有理数集合Q实数集合R……2.集合定义

如果a是集合A中的元素，称a属于A，记为a∈A。 反之a不属于A，记为a∉A。

3.集合的表示

枚举法

A = {a, b, c,……}

叙述法

P = {x| P(x)}

文氏图

4.集合的基数

基数表示集合中元素的数量，符号为|集合|

A = {a，b，c}

A的基数|A|为3。

二、特殊集合

空集Ø，Ø={x|x ≠ x}全集U或E幂集，P(A) = {x|x⊆A}，A的幂集是A的全部不同子集构成的集合三、集合间的关系

外延性原理：有A、B两个集合，当且仅当他们的元素完全相同，记为A = B。

包含：A中含有B中的全部元素称为A包含B，记B⊆A。否则记为B⊄A（这里应该是前面的包含符号画一条斜杠，找不到这个符号了，就用了非真包含）

真包含：在包含条件下满足A ≠ B，则 B⊂A。

A = B <=> A⊆B 并且 B⊆A

四、集合的运算

并

下图橘色区域为A⋃B的结果

交

下图橘色区域为A⋂B的结果

补

下图橘色区域为A的补集

差

下图橘色区域为A-B

对称差

下图橘色区域为A⊖B （我看的b站电子科大教程ppt里圈中间的符号是+，但是我百度到的符号中间是-）

五、集合的运算定律

幂等律A⋃A=A A⋂A=A交换律

A⋃B=B⋃A

A⋂B=B⋂A

结合律

A⋃B⋃C=A⋃(B⋃C)

A⋂B⋂C=A⋂(B⋂C)

同一律A⋃Ø=A A⋂U=A零律A⋂Ø=Ø A⋃U=U分配律

A⋃(B⋂C)=(A⋃B)⋂(A⋃C)

A⋃(B⋂C)=(A⋂B)⋃(A⋂C)

吸收律

A⋃(A⋂B)=A

A⋂(A⋃B)=A

矛盾论和排中律

A⋂A补=Ø

A⋃A补=U

双重否定律A补的补=A德摩根律

(A⋃B)的补=A补⋂B补

(A⋂B)的补=A补⋃B补

六、可数集合和不可数集合

等势：若集合A和B之间存在一种--对应的关系，则A和B是等势的，记为A~B

可数集合：与自然数集合N等势的集合称为可数集合，该集合的基数记为ℵ₀（阿列夫零）

不可数集合开区间(0,1)称为不可数集合，凡是与开区间(0,1)等势的集合，称为不可数集合，这类集合的基数记为ℵ（阿列夫）