除法取模运算(费马小定理+逆元) 一看就懂！

对于正整数和，如果有，那么把这个同余方程中的最小正整数解叫做模的逆元。

逆元一般用扩展欧几里得算法来求得，如果为素数，那么还可以根据费马小定理得到逆元为。（都要求a和m互质）

推导过程如下(摘自Acdreamer博客)

这个为费马小定理，m为素数是费马小定理的前置条件。

其实就是推出:(1/a)%m = a^(m-2)%m，后面我们就可以用a^(m-2)来代替1/a了。

法一：求a/b=x(mod M）：(也就是求a*(1/b)%M)

只要M是一个素数,而且b不是M的倍数,就可以用一个逆元整数b1,通过 a/b=a*b1 (mod M)，只能来以乘换除。费马小定理:对于素数 M 任意不是 M 的倍数的 b，都有：b ^ (M-1) = 1 (mod M)于是可以拆成：b*b^(M-2)=1(mod M)于是:a/b=a/b*(b * b ^ (M-2))=a*(b ^ (M-2)) (mod M)，这里不就是用b^(M-2)代替了1/b吗！

法二：求a/b=x(mod M)

用扩展欧几里德算法算出b1,然后计算a*b1(mod M)

exgcd(b,M,x,y); b1=x;

当p是个质数的时候有inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p

证明：

设x = p % a,y = p / a于是有 x + y * a = p(x + y * a) % p = 0移项得 x % p = (-y) * a % px * inv(a) % p = (-y) % pinv(a) = (p - y) * inv(x) % p于是 inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p

然后一直递归到1为止，因为1的逆元就是1

#include

typedef long long LL;

LL inv(LL t, LL p)

{//求t关于p的逆元，注意:t要小于p，最好传参前先把t%p一下

return t == 1 ? 1 : (p - p / t) * inv(p % t, p) % p;

}

int main()

{

LL a, p;

while(~scanf("%lld%lld", &a, &p))

{

printf("%lld\n", inv(a%p, p));

}

}

它可以在O(n)的复杂度内算出n个数的逆元

#include

const int N = 200000 + 5;

const int MOD = (int)1e9 + 7;

int inv[N];

int init()

{

inv[1] = 1;

for(int i = 2; i < N; i ++)

inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;

}

int main()

{

init();

}